STATISTIKA A FINANČNÍ MATEMATIKA

Maticové operace v tabulkovém procesoru

Pozn.: Cílem textu není přesný matematický popis, ale praktický postup užití maticového počtu v tabulkovém procesoru.

Matice

Matice je soustava čísel (reálných nebo komplexních) uspořádáná do m řádku a n sloupců. Matice se označují velkými písmeny (např. A) a její prvky např. a_i,j, kde i představuje řádek (i=1,2,...,m) a j představuje sloupec (j=1,2,..,n).

Vybrané speciální typy matic:

Čtvercová matice má stejný počet řádků a sloupců.

Jednotková matice J je čtvercová matice, která má na hlavní diagonále jedničky a všechny ostatní prvky jsou rovny nule. Na hlavní diagonále jsou prvky, pro které platí i=j.

Regulární a singulární matice

Matice se nazývá regulární, jestliže má maximální hodnost (tj. pokud se v ní nevyskytuje žádný lineárně závislý řádek) a jestliže je to matice čtvercová. Čtvercová matice se nazývá singulární, jestliže není regulární (tj. jestliže matice obsahuje alespoň jeden lineárně závislý řádek).

Základní operace s maticemi

Součet matic

Součet matic je intuitivní. Pokud jsou matice stejného typu (tj. mají stejný počet sloupců a řádků), výsledná matice bude mít na stejných pozicích součty čísel na odpovídajících pozicích v předchozích maticích. Neboli pokud sčítáme matice A+B=C, pak platí a_i,j + b_i,j = c_i,j.

V programu Excel není pro součet matic žádná funkce. Součet lze provést jako součet buněk v severozápadním rohu matic a pak součet nakopírovat do ostatních buněk. Lze to též provést součtem pomocí maticového vzorce, který se vkládá CTRL+SHIFT+ENTER.

Sčítání matic je komutativní a asociativní. A+B=B+A a A+(B+C)=(A+B)+C.

Rozdíl matic

Rozdíl matic je obdobou součtu: rozdíl A-B=C, pak platí a_i,j - b_i,j = c_i,j.

Násobení matic skalárem

I násobení matic skalárem (číslem) je intuitivní. Vezmeme číslo a násobíme jím postupně všechny prvky matice: A.s=a_i,j.s.

V programu Excel není pro násobení matice skalárem žádná funkce. Násobení skalárem lze provést jako součin buňky v severozápadním rohu matice a skaláru. Součin pak nakopírovat do ostatních buněk (pozor: odkaz na skalár je absolutní). Lze to též provést násobením pomocí maticového vzorce.

Součin matic

Součin matic intuitivní není, provádí se na principu skalárních součinů řádkových vektorů první matice a sloupcových vektorů druhé matice.

Matice musí splňovat kritérium, že počet sloupců první matice musí být stejný jako počet řádků druhé matice. Zbytek může být libovolný.

Výsledná matice bude mít právět tolik řádků, jako první matice a právě tolik sloupců jako druhá matice.

Součin matic - viz vzorec vpravo (n je počet sloupců první matice). Obr. dole ukazuje princip součinu matic. Zdroj: www.matematika.cz/matice

V programu Excel je pro součin matic funkce: SOUČIN.MATIC(pole1; pole2), kde pole1, pole2 jsou pole, která se mají vynásobit. Výsledek se vkládá maticovým vzorcem.

Násobení matic není komutativní. Obecně neplatí, že by A·B=B·A, ačkoliv samozřejmě takový případ může nastat. Násobení matic je však asociativní. Se sčítáním je dokonce distributivní: A(B+C)=AB+AC.

Transpozice matice

Transpozice matice znamená záměnu řádků matice za sloupce a naopak. Matice transponovaná k matici A je matice A^T, u které platí a_i,j = a^T_j,i, tj. prvek který byl v i-tém řádku a j-tém sloupci bude v transponované matici na j-tém řádku a i-tém sloupci.

V programu Excel je pro transpozici matice funkce: TRANSPOZICE(pole1), kde pole1 je pole, které je nutno transponovat. Výsledek se vkládá maticovým vzorcem.

Inverze matice

Inverze matice nahrahuje neexistující operaci dělení matic. Inverzní matice je matice, která je definovaná na čtvercových regulárních maticích. Při součinu matice a její inverzní matice pak dostaneme jednotkovou matici.

Inverzní matice k matici A (značíme A^-1) dále existuje jen tehdy, je-li matice regulární (nemá lineárně závislé řádky). Tato matice je pak určena jednoznačně. Dvě hlavní vlastnosti inverzní matice jsou:

1. (A^-1)^-1 = A
2. Hlavní a nejdůležitější vlastností inverzní matice (což je zároveň také definice inverzní matice) je: A . A^-1 = J, kde je jednotková matice.

V programu Excel je pro inverzi matice funkce: INVERZE(pole1), kde pole1 je pole, které je nutno invertovat. Výsledek se vkládá maticovým vzorcem.

Řešení soustavy lineárních rovnic pomocí matic v Excelu

1. Vypočteme inverzní matici soustavy bez pravých stran.
2. Inverzní matici soustavy násobíme sloupcovým vektorem pravých stran a dostaneme sloupcový vektor kořenů lineárních rovnic.

Zkoušku lze provést součinem původní matice soustavy bez pravých stran a vektoru kořenů. Výsledkem je vektor pravých stran.