STATISTIKA A FINANČNÍ MATEMATIKA

Charakteristiky polohy

Tento text se bude týkat výhradně znaku kvantitativního. Úplnou statistickou informaci o konkrétním statistickém znaku ve statistickém souboru dává jeho rozdělení četností, pokud chceme velmi stručnou informaci o hodnotě konkrétního znaku, použijeme jedinou hodnotu na číselné ose, kterou označíme jako charakteristiku polohy, někdy se označuje jako střední hodnota.

Průměr

Nejčastěji užívanou charakteristikou polohy (střední hodnotou) je průměr.

Aritmetický průměr

Aritmetický průměr znaku x se označuje jako x (x s pruhem a je to součet hodnot znaku zjištěných u všech jednotek souboru, dělený počtem všech jednotek souboru.

V programu Excel se pro výpočet aritmetického průměru užívá funkce PRŮMĚR.

Takto počítaný průměr se označuje jako aritmetický průměr prostý.

Počítáme-li aritmetický průměr z tabulky rozdělení četností, musíme každou hodnotu x_i násobit její četností (vahou). Použijeme vzorec váženého aritmetichého průměru:

V programu Excel musíme nejprve pomocí funkce SOUČIN.SKALÁRNÍ získat součet součinů hodnot a četností, poté tento součet musíme dělit součtem četností, který získáme pomocí funkce SUMA: =SOUČIN.SKALÁRNÍ(pole hodnot; pole četností)/SUMA(pole četností).

Vážený aritmetický průměr se používá i tehdy, pokud hodnoty znaku jsou poměrná čísla, např. při výpočtu průměru školy z průměrů tříd, vahami jsou počty žáků ve třídách.

Aritmetický průměr charakterizuje dobře statistický soubor, jehož hodnoty se navzájem extrémně neliší.

Geometrický průměr

Aritmetický průměr ztrácí smysl tam, kde individuální odchylky nejsou nahodile, ale systematické. Tak tomu často bývá v časových řadách, kde data vyjadřují určitý trend. Zde je vhodnější než průměr průměrný přírůstek (úbytek) znaku za jedno časové období.

V národohospodářských číselných řadách se často užívá průměrné tempo růstu, čímž se rozumí průměr podílů hodnot za dvě po sobě následující období, tedy podílů: z₁ = x₁ / x₀, z₂ = x₂ / x₁, ... ,z_n = x_n / x_n−1.

Pro výpočet průměrného přírůstku není nutno počítat jednotlivé přírůstky, stačí celkový přírůstek na n období dělit jejich počtem.

Pozn.: hodnoty růstu z_i se obvykle udávají v procentech.

Za průměr se zde však bere nikoli aritmetický, ale geometrický průměr, který udává v jistém smyslu typický koeficient v souboru koeficientů.

Je-li tempo růstu ve všech obdobíchch stále stejné, tedy rovno z_G, vzroste počáteční hodnota x₀ za uvedených n období právě na hodnotu x_n.

Geometrický průměr se zavádí jen pro kladná čísla.

V programu Excel se pro výpočet geometrického průměru užívá funkce GEOMEAN.

Harmonický průměr

Harmonický průměr z nenulových hodnot statistického souboru je definován jako podíl rozsahu souboru (počtu členů) a součtu převrácených hodnot znaků. Jinými slovy je to převrácená hodnota aritmetického průměru převrácených hodnot zadaných členů.

Používá se, jsou-li hodnoty znaku nerovnoměrně rozloženy kolem aritmetického průměru, nebo když jsou hodnoty extrémně nízké či vysoké.

V programu Excel se pro výpočet harmonického průměru užívá funkce HARMEAN.

Modus

Modus znaku x (značí se Mod(x)) je hodnota znaku x s největší četností.

V programu Excel se pro výpočet modu užívá funkce MODE.

Medián

Medián znaku x (značí se Med(x)) je prostřední hodnota znaku, jsou-li zjištěné hodnoty u všech jednotek uspořádány podle velikosti.

Výpočet: je-li x₍₁₎ <= x₍₂₎ <= ... <= x_(n), pak:

• Med(x)=x_[(n+1)/2], je-li n liché
• Med(x)=1/2 * (x_(n/2) + x_[(n/2)+1]), je-li n sudé

V programu Excel se pro výpočet mediánu užívá funkce MEDIAN.

Užití mediánu jakožto střední hodnoty je vhodné, když hodnoty statistického znaku u některých jednotek se extrémně odlišují od ostatních hodnot.